Tenéis que tener claro que un número real es.....
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Actividad 1 PDF
Actividad2 interactiva
Realizar los siguientes ejercicios
Ejercicio 1. El número de hermanos de los alumnos de una clase es el siguiente:
0 1 0 0 3 2 1 4 0 0 1 1 2 0 1
1 2 0 1 1 2 1 3 0 0 2 1 2 3 5
a) Efectúa el recuento.
a) Efectúa el recuento.
b) Elabora una tabla de frecuencias.
c) Calcula: la media, la moda, la frecuencia relativa, la frecuencia acumulada, la mediana, la varianza, la desviación típica, la desviación media, el ángulo (para el diagrama de sectores), el rango, el coeficiente de variación.
d) Realiza el diagrama de barras y el polígono de frecuencias.
Ejercicio 2. En la siguiente tabla se recoge el número de veces que un grupo de usuarios de un ambulatorio han tenido que acudir a su médico en el último año.
Nº de visitas al médico
|
Nº de personas
|
1
|
10
|
3
|
25
|
5
|
43
|
7
|
31
|
10
|
12
|
12
|
4
|
a) Calcula: la media, la moda, la frecuencia relativa, la frecuencia acumulada, la mediana, la varianza, la desviación típica, la desviación media, el ángulo (para el diagrama de sectores), el rango, el coeficiente de variación.
b) Realiza el diagrama de barras y el polígono de frecuencias.
Ejercicio 3. La siguiente gráfica recoge la cantidad de parejas de zapatos vendidas en una tienda a lo largo del día:
a) Indica el tipo de gráfico.
b) Elabora una tabla de frecuencias.
c) Calcula: la media, la moda, la frecuencia relativa, la frecuencia acumulada, la mediana, la varianza, la desviación típica, la desviación media, el ángulo (para el diagrama de sectores), el rango, el coeficiente de variación.
Ejercicio 4. En un control de velocidad en carretera se obtuvieron los siguientes datos:
Datos: velocidad
Frecuencia absoluta: el número de coches
a) Calcula: la media, la moda, la clase modal, la frecuencia relativa, la frecuencia acumulada, la mediana, la varianza, la desviación típica, la desviación media, el ángulo (para el diagrama de sectores), el rango, la amplitud del intervalo y el coeficiente de variación.
b) Realiza el histograma y el polígono de frecuencias.
Ejercicio 5. La siguiente gráfica recoge las horas de estudio semanal de un grupo de alumnas y alumnos:
a) Indica el tipo de gráfico.
b) Elabora una tabla de frecuencias.
c) Calcula: la media, la moda, la clase modal, la frecuencia relativa, la frecuencia acumulada, la mediana, la varianza, la desviación típica, la desviación media, el ángulo (para el diagrama de sectores), el rango, la amplitud del intervalo y el coeficiente de variación.
Ejercicios de probabilidad
Ejercicio 1. Lanzamos un dado con forma de dodecaedro con las caras numeradas del 1 al 12 y anotamos el número obtenido.
a) ¿Cuál es el espacio muestral?
b) Escribe los sucesos:
A = “Menos de 5”; B = “Más de 4”
C = “Número par”; D = “No múltiplo de 3”
Ejercicio 2. En una bolsa hay 6 bolas rojas, 4 azules, 7 verdes, 2 amarillas y una negra. Extraemos una al azar. Halla la probabilidad de que:
a) Sea azul.
b) No sea negra.
c) Sea verde.
d) Sea amarilla.
Ejercicio 3. Tenemos un dado de seis caras numeradas del 1 al 6. Indica el espacio muestral, los elementos que contienen cada suceso y la probabilidad de cada uno de ellos.
a) El resultado es múltiplo de 3.
b) El resultado es múltiplo de 2.
c) El resultado es mayor que 1.
d) El resultado es menor que 5.
e) El resultado es menor que 1.
Números naturales
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}
1 Contar los elementos de un conjunto (número cardinal).
Ejemplo: 8 es el número de planetas del Sistema Solar.
Ejemplo: El pez verde es el segundo (2º) de los tres peces.
Ejemplo: Mi número de socio en el carnet del Club de vela es 40257.
Ejemplo: 5 > 3 
5 es mayor que 3.
3 < 5 3 es menor que 5.
Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro número natural. 5 es mayor que 3. 3 < 5
3 es menor que 5. Representación de los números naturales
Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero (0).
A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los siguientes números naturales: 1, 2, 3...
Prioridad de las operaciones
2 Calcular las potencias y raíces.
3 Efectuar los productos y cocientes.
4 Realizar las sumas y restas.
Tipos de operaciones combinadas
- Sin paréntesis
- Con paréntesis
- Con corchetes
- Con llaves
1. Operaciones combinadas sin paréntesis
1.1 Combinación de sumas y diferencias
9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 3 = 8
Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen.
1.2 Combinación de sumas, restas y productos
3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 3 =
= 6 − 5 + 12 − 8 + 15 = 20
= 6 − 5 + 12 − 8 + 15 = 20
Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad.
Posteriormente efectuamos las sumas y restas.
1.3 Combinación de sumas, restas, productos y divisiones
10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 20 : 4 =
= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 5 = 9
= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 5 = 9
Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad.
Efectuamos las sumas y restas.
1.4 Combinación de sumas, restas, productos, divisiones y potencias
23 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 22 − 20 : 4 =
= 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 20 : 4 =
= 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 5 = 25
= 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 20 : 4 =
= 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 5 = 25
Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad.
Seguimos con los productos y cocientes.
Efectuamos las sumas y restas.
Suma de números naturales
a + b = c
Los términos que intervienen en una suma se denominan:
a y b se denomina sumandos.
El resultado (c) se denomina suma.
Propiedades de la suma de números naturales
1 Operación interna
El resultado de sumar dos números naturales es otro número natural.
El resultado de sumar dos números naturales es otro número natural.
2 Asociativa
El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
(a + b) + c = a + (b + c)
Ejemplo:
(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
5 + 5 = 2 + 8
10 = 10
5 + 5 = 2 + 8
10 = 10
3 Conmutativa
El orden de los sumandos no varía la suma.
4 Elemento neutro El orden de los sumandos no varía la suma.
a + b = b + a
Ejemplo:
2 + 5 = 5 + 2
7 = 7
7 = 7
El 0 es el elemento neutro de la suma, porque todo número sumado con él da él mismo número.
a + 0 = 0 + a
Ejemplo:
a + 0 = a
3 + 0 = 3
3 + 0 = 3
Resta de números naturales
a − b = c
Los términos que intervienen en una resta se denominan:
a se denomina minuendo.
b se denomina sustraendo.
El resultado (c) se denomina diferencia.
a se denomina minuendo. b se denomina sustraendo. El resultado (c) se denomina diferencia.Propiedades de la resta de números naturales
1 No interna
El resultado de restar dos números naturales no siempre es otro número natural.
2 No conmutativa
Multiplicación de números naturales
Por ejemplo, la multiplicación 2·5 consiste en sumar el número 2 cinco veces.
a · b = c
Los términos que intervienen en una multiplicación se denominan:
a y b se denomina factores
El resultado (c) se denomina producto
a y b se denomina factores El resultado (c) se denomina productoPropiedades de la multiplicación de números naturales
1 Operación interna
El resultado de multiplicar dos números naturaleses otro número natural.
2 Asociativa
El modo de agrupar los factores no varía el resultado.
(a · b) · c = a · (b · c)
Ejemplo:
(2 · 3) · 5 = 2 · (3 · 5)
6 · 5 = 2 · 15
30 = 30
6 · 5 = 2 · 15
30 = 30
3 Conmutativa
El orden de los factores no varía el producto.
a · b = b · a
Ejemplo:
2 · 5 = 5 · 2
10 = 10
10 = 10
4 Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación de números naturales porque todo número multiplicado por él da el mismo número.
a · 1 = 1 · a = a
Ejemplo:
3 · 1 = 1 · 3 = 3
5 Distributiva
La multiplicación de un número natural por una suma es igual a la suma de las multiplicaciones de dicho número natural por cada uno de los sumandos.
a · (b + c) = a · b + a · c
Ejemplo:
2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5
2 · 8 = 6 + 10
16 = 16
2 · 8 = 6 + 10
16 = 16
6 Sacar factor común
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.
a · b + a · c = a · (b + c)
Ejemplo:
2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)
6 + 10 = 2 · 8
16 = 16
6 + 10 = 2 · 8
16 = 16
División de números naturales
D : d = c
Los términos que intervienen en una división se denominan:
D se denomina dividendo
d se denomina divisor
El resultado (c) se denomina cociente
D se denomina dividendo d se denomina divisor El resultado (c) se denomina cocienteTipos de divisiones
Una división es exacta cuando el resto es cero.
D = d · c
Ejemplo:
Una división es entera cuando el resto es distinto de cero.
D = d · c + r
Ejemplo:
Propiedades de la división de números naturales
El resultado de dividir dos números naturales no siempre es otro número natural.
Ejemplo:
2 : 6 
El modo de agrupar los factores no varía el resultado.
Ejemplo:
6 : 2 ≠ 2 : 6
Ejemplo:
0 : 5 = 0
Ejercicios
Realizar los siguientes ejercicios con operaciones combinadas:
1
8 − 6 + 7 − 5 − 2 + 8 − 6 =
2
4 · 3 − 8 + 7· 2 − 10 + 2 · 6 =
3
6 · 3 − 12 : 2 + 7 - 4 · 3 =
4
3² − 4 · 2 + 18 : 3 + 24 − 42 =
5
(13 − 4 · 2) − 4 + (2 · 6 − 7) − (14 − 3²) =
6
[3³ − (4 · 3 + 8)] − (3 · 6 − 15) + 22 - (8 − 6) =
7
8² − [(12 : 2) · (24 : 6)] − {25 − [24 − (18 : 3)]} =
TEMA 2: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
1. Indica que variables son cualitativas y cuales cuantitativas:
1 Comida Favorita.
2 Profesión que te gusta.
3 Número de goles marcados por tu equipo favorito en la última temporada.
4 Número de alumnos de tu Instituto.
5 El color de los ojos de tus compañeros de clase.
6 Coeficiente intelectual de tus compañeros de clase.
2. De las siguientes variables indica cuáles son discretas y cuales continuas.
1 Número de acciones vendidas cada día en la Bolsa.
2Temperaturas registradas cada hora en un observatorio.
3 Período de duración de un automóvil.
4 El diámetro de las ruedas de varios coches.
5 Número de hijos de 50 familias.
6 Censo anual de los españoles.
3. Clasificar las siguientes variables en cualitativas y cuantitativas discretas o continuas.
1 La nacionalidad de una persona.
2 Número de litros de agua contenidos en un depósito.
3 Número de libros en un estante de librería.
4 Suma de puntos tenidos en el lanzamiento de un par de dados.
5 La profesión de una persona.
6 El área de las distintas baldosas de un edificio.
4. Las puntuaciones obtenidas por un grupo en una prueba han sido:
15, 20, 15, 18, 22, 13, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 16, 20, 16, 15, 18, 16, 14, 13.
Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el polígono de frecuencias.
5. El número de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie:
3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1.
Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el diagrama de barras.
6. Las calificaciones de 50 alumnos en Matemáticas han sido las siguientes:
5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8, 6, 6, 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7.
Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el diagrama de barras.
7. Los pesos de los 65 empleados de una fábrica vienen dados por la siguiente tabla:
| Peso | [50, 60) | [60, 70) | [70, 80) | [80,90) | [90, 100) | [100, 110) | [110, 120) |
| fi | 8 | 10 | 16 | 14 | 10 | 5 | 2 |
1 Construir la tabla de frecuencias.
2 Representar el histograma y el polígono de frecuencias.
8. Los 40 alumnos de una clase han obtenido las siguientes puntuaciones, sobre 50, en un examen de Física.
3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 23, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.
1 Construir la tabla de frecuencias.
2 Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias.
9. Sea una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
| xi | 61 | 64 | 67 | 70 | 73 |
| fi | 5 | 18 | 42 | 27 | 8 |
Calcular:
1 La moda, mediana y media.
2 El rango, desviación media, varianza y desviación típica.
10.Calcular la media, la mediana y la moda de la siguiente serie de números: 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.
11 Hallar la varianza y la desviación típica de la siguiente serie de datos:
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
12 Hallar la media, mediana y moda de la siguiente serie de números:
3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6.
13. Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de números siguientes:
2, 3, 6, 8, 11.
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
14 Se ha aplicado un test a los empleados de una fábrica, obteniéndose la siguiente tabla:
| fi | |
| [38, 44) | 7 |
| [44, 50) | 8 |
| [50, 56) | 15 |
| [56, 62) | 25 |
| [62, 68) | 18 |
| [68, 74) | 9 |
| [74, 80) | 6 |
Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias acumuladas.
15. Dadas las series estadísticas:
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.
Calcular:
La moda, la mediana y la media.
La desviación media, la varianza y la desviación típica.
Los cuartiles 1º y 3º.
Los deciles 2º y 7º.
Los percentiles 32 y 85.
16. Una distribución estadística viene dada por la siguiente tabla:
| [10, 15) | [15, 20) | [20, 25) | [25, 30) | [30, 35) | |
| fi | 3 | 5 | 7 | 4 | 2 |
Hallar:
La moda, mediana y media.
El rango, desviación media y varianza.
Los cuartiles 1º y 3º.
Los deciles 3º y 6º.
Los percentiles 30 y 70.
17. Dada la distribución estadística:
| [0, 5) | [5, 10) | [10, 15) | [15, 20) | [20, 25) | [25, ∞) | |
| fi | 3 | 5 | 7 | 8 | 2 | 6 |
Calcular:
La mediana y moda.
Cuartil 2º y 3º.
Media.
Ejercicios y problemas resueltos de Estadística II
1
PROBABILIDAD
Ejercicio nº 1.-
¿Qué es una experiencia aleatoria? De las siguientes experiencias ¿cuáles son aleatorias? a Al lanzar un dado sacar puntuación par. b Lanzar un dado y sacar una puntuación mayor que 6. c Bajar a la planta baja en ascensor. Ejercicio nº 2 ¿Qué es una experiencia aleatoria? De las siguientes experiencias ¿cuáles son aleatorias? a En una caja hay cinco bolas amarillas, sacamos una bola y anotamos su color. b Lanzamos una moneda al aire y anotamos si sale cara o cruz. c Al lanzar un dado de seis puntos anotamos todos los resultados mayores que ocho. Ejercicio nº 3.- ¿Qué es una experiencia aleatoria? De las siguientes experiencias ¿cuáles son aleatorias? a En una caja hay cinco bolas de diferentes colores, sacamos una y anotamos su color. b Hago girar la flecha de una ruleta con 4 colores y anoto el color que sale. c Rebeca anota todos los días si amanece. Ejercicio nº 4.- ¿Qué es una experiencia aleatoria? De las siguientes experiencias ¿cuáles son aleatorias? a Mañana se pondrá el sol. b Me tocará la lotería. c Acertaré jugando a pares o nones. Ejercicio nº 5.- ¿Qué es una experiencia aleatoria? De las siguientes experiencias ¿cuáles son aleatorias? a En una bolsa metemos seis bolas rojas y seis azules, sacamos una y anotamos su color. b Al lanzar una moneda al aire sale cara o cruz. c Al extraer una carta de la baraja observamos si sale un As.
2
Ejercicio nº 6.-
En una urna hay 5 bolas, cuatro rojas y una azul, sacamos una bola y anotamos su color. Escribe el espacio
muestral y califica cada suceso según su probabilidad:
Ejercicio nº 7.-
Al lanzar un dado
anotamos la puntuación obtenida. Escribe el espacio muestral y califica cada suceso según
su probabilidad:
Ejercicio nº 8.-
Extraemos una carta de una baraja española y anotamos el palo que sale. Escribe el espacio muestral y
completa la tabla con ejemplos de distintos sucesos:
Ejercicio nº 9.-
En una urna hay 10 bolas numeras del 1 al 10, sacamos una bola y anotamos el número. Escribe el espacio
muestral y califica cada suceso según su probabilidad:
TIPO DE SUCESO SUCESO
Seguro Sacar bola roja o azul.
Sacar bola azul.
Sacar bola verde.
Sacar bola roja.
TIPO DE SUCESO SUCESO
Suceso Seguro Sacar una puntuación inferior a 7.
Sacar un 5.
Sacar un 7.
Sacar menos de 5.
Sacar más de 4.
TIPO DE SUCESO SUCESO
Seguro
Suceso posible
Suceso imposible
Suceso muy probable
Suceso poco probable
TIPO DE SUCESO SUCESO
Seguro Sacar una puntuación inferior a 11.
Sacar una puntuación igual a 5.
Sacar una puntuación igual a 12.
Sacar una puntuación inferior a 8.
Sacar una puntuación inferior a 3.
3
Ejercicio nº 10.-
Al lanzar dos monedas al aire
anotamos el número de caras obtenidas. Escribe el espacio muestral y completa la tabla:
Ejercicio nº 11.-
Aplica la Ley de Laplace y calcula las siguientes probabilidades: a
En una bolsa hay 30 bolas, todas del mismo tamaño, de las cuales 15 son rojas, 10 son amarillas y 5 son verdes. ¿Cuál es la probabilidad de cada color al sacar una bola? b En un avión viajan 35 pasajeros franceses, 15 españoles, 10 británicos y 50 italianos. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer pasajero que salga del avión no sea español? Ejercicio nº 12.- Una urna contiene 12 bolas amarillas, 15 verdes y 23 azules. Calcula la probabilidad de que al extraer una bola al azar: a Sea de color azul. b No sea de color amarillo. Ejercicio nº 13.- Una urna contiene 12 bolas amarillas, 15 verdes y 23 azules. Calcula la probabilidad de que al extraer una bola al azar: a Sea de color amarillo. b No sea de color verde. Ejercicio nº 14.- Calcula las siguientes probabilidades: a En una clase del instituto hay 12 chicos morenos, 8 rubios, 4 castaños y 1 pelirrojo. El profesor saca a la pizarra a uno de ellos de forma aleatoria. ¿Cuál es la probabilidad de que sea rubio? b ¿Cuál es la probabilidad de que no sea moreno? Ejercicio nº 15.- Aplica la ley de Laplace y calcula las siguientes probabilidades: a Extraer una carta de oros de una baraja española de 40 naipes. b Extraer una carta que no sea un As de una baraja española de 40 naipes.
TIPO DE SUCESO SUCESO Suceso Seguro Obtener una cara o una cruz. Suceso posible Suceso imposible Suceso muy probable Suceso poco probable
4
Ejercicio nº 16.-
Lanzamos dos dados y sumamos sus puntuaciones. Calcula la probabilidad de que: a
Sumen 6. b La suma sea un número impar. Ejercicio nº 17.- Lanzamos dos dados y anotamos sus puntuaciones. Calcula la probabilidad de que: a Salga un número igual y par en cada dado. b Salgan números menores que 5 en cada dado. Ejercicio nº 18.- Lanzamos tres monedas y anotamos los resultados. Calcula la probabilidad de que: a Salgan dos caras y una cruz. b Salgan tres caras. Ejercicio nº 19.- En un bombo se introducen 100 bolas numeradas del 0 al 99. Se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de que: a La bola extraída contenga una sola cifra. b El número extraído sea mayor que 90. Ejercicio nº 20.- Lanzamos dos dados y sumamos sus puntuaciones. Calcula la probabilidad de que: a Sumen 7. b Sumen 12. Ejercicio nº 21.- Al lanzar 1 000 veces un dado se obtienen los resultados de la tabla:
5
a) ¿Cuál es la frecuencia absoluta del 4?
b) Calcula las frecuencias relativas de cada suceso.
c) Estima la probabilidad de obtener un 4 con ese dado.
Ejercicio nº 22.-
Al lanzar 1 000 veces un dado, se obtienen los resultados de la tabla:
a) ¿Cuál es la frecuencia absoluta de 2?
b) Calcula las frecuencias relativas de cada suceso.
c) Estima la probabilidad de obtener un 3 con ese dado.
Ejercicio nº 23.-
Al extraer al azar 1 000 veces una bola de una caja donde hay 10 bolas numeradas del 1 al 10, se obtienen los
resultados de la tabla:
a) ¿Cuál es la frecuencia absoluta de 8?
b) Calcula las frecuencias relativas de cada suceso.
c) Estima la probabilidad de extraer un 7.
6
Ejercicio nº 24.-
Al extraer al azar 1000 veces una bola de una caja donde hay 10 bolas numeradas del 0 al 9
se obtienen los
resultados de la tabla:
a) ¿Cuál es la frecuencia absoluta de 6?
b) Calcula las frecuencias relativas de cada suceso.
c) Estima la probabilidad de sacar un 4.
Ejercicio nº 25.-
Al extraer al azar 1 000 veces una bola de una caja, en la que hay 4 bolas verdes, 4 bolas azules y 4 bolas rojas,
se obtienen los resultados de la tabla:
a) ¿Cuál es la frecuencia absoluta de la bola roja?
b) Calcula las frecuencias relativas de cada suceso.
c) Estima la probabilidad de extraer una bola roja.
7
SOLUCIÓN EJERCICIOS DE PROBABILIDAD
Ejercicio nº 1.-
¿Qué es una experiencia aleatoria? De las siguientes experiencias ¿cuáles son aleatorias? a Al lanzar un dado sacar puntuación par. b Lanzar un dado y sacar una puntuación mayor que 6. c Bajar a la planta baja en ascensor. Solución: Una experiencia aleatoria es aquella cuyo resultado depende del azar. De las experiencias propuestas, solo es aleatoria la a). Ejercicio nº 2 ¿Qué es una experiencia aleatoria? De las siguientes experiencias ¿cuáles son aleatorias? a En una caja hay cinco bolas amarillas, sacamos una bola y anotamos su color. b Lanzamos una moneda al aire y anotamos si sale cara o cruz. c Al lanzar un dado de seis puntos anotamos todos los resultados mayores que ocho. Solución: Una experiencia aleatoria es aquella cuyo resultado depende del azar. De las experiencias propuestas, solo es aleatoria la b). Ejercicio nº 3.- ¿Qué es una experiencia aleatoria? De las siguientes experiencias ¿cuáles son aleatorias? a En una caja hay cinco bolas de diferentes colores, sacamos una y anotamos su color. b Hago girar la flecha de una ruleta con 4 colores y anoto el color que sale. c Rebeca anota todos los días si amanece. Solución: Una experiencia aleatoria es aquella cuyo resultado depende del azar. De las experiencias propuestas, son aleatorias a) y b.
8
Ejercicio nº 4.-
¿Qué es una experiencia aleatoria?
De las siguientes experiencias ¿cuáles son aleatorias?
a
Mañana se pondrá el sol.
b
Me tocará la lotería.
c
Acertaré jugando a pares o nones.
Solución:
Una experiencia aleatoria es aquella cuyo resultado depende del azar.
De las experiencias propuestas, son aleatorias b) y c).
Ejercicio nº 5.-
¿Qué es una experiencia aleatoria?
De las siguientes experiencias ¿cuáles son aleatorias?
a
En una bolsa metemos seis bolas rojas y seis azules, sacamos una y anotamos su color.
b
Al lanzar una moneda al aire sale cara o cruz.
c
Al extraer una carta de la baraja observamos si sale un As.
Solución:
Una experiencia aleatoria es aquella cuyo resultado depende del azar.
De las experiencias propuestas, son aleatorias a) y c).
Ejercicio nº 6.-
En una urna hay 5 bolas, cuatro rojas y una azul, sacamos una bola y anotamos su color. Escribe el espacio
muestral y califica cada suceso según su probabilidad:
Solución:
TIPO DE SUCESO SUCESO
Seguro Sacar bola roja o azul.
Sacar bola azul.
Sacar bola verde.
Sacar bola roja.
E
R,R,R,R, A
9
Ejercicio nº 7.-
Al lanzar un dado
anotamos la puntuación obtenida. Escribe el espacio muestral y califica cada suceso según
su probabilidad:
Solución:
Ejercicio nº 8.-
Extraemos una carta de una baraja española y anotamos el palo que sale. Escribe el espacio muestral y
completa la tabla con ejemplos de distintos sucesos:
TIPO DE SUCESO SUCESO
Seguro Sacar bola roja o azul.
Posible Sacar bola azul.
Imposible Sacar bola verde.
Muy probable Sacar bola roja.
TIPO DE SUCESO SUCESO
Suceso Seguro Sacar una puntuación inferior a 7.
Sacar un 5.
Sacar un 7.
Sacar menos de 5.
Sacar más de 4.
E
1, 2, 3, 4, 5, 6
TIPO DE SUCESO SUCESO
Seguro Sacar una puntuación inferior a 7.
Posible Sacar un 5.
Imposible Sacar un 7.
Muy probable Sacar menos de 5.
Poco probable Sacar más de 4.
TIPO DE SUCESO SUCESO
Seguro
Suceso posible
Suceso imposible
Suceso muy probable
Suceso poco probable
10
Solución:
El espacio muestral son 4 casos
uno por cada palo de la baraja.
Ejercicio nº 9.-
En una urna hay 10 bolas numeradas del 1 al 10, sacamos una bola y anotamos el número. Escribe el espacio
muestral y califica cada suceso según su probabilidad:
Solución:
Ejercicio nº 10.-
Al lanzar dos monedas al aire
anotamos el número de caras obtenidas. Escribe el espacio muestral y completa
la tabla:
TIPO DE SUCESO SUCESO
Seguro Sacar una carta de cualquier palo.
Suceso posible Sacar oros.
Suceso imposible Sacar un comodín.
Suceso muy probable Sacar una carta no figura.
Suceso poco probable Sacar un as.
TIPO DE SUCESO SUCESO
Seguro Sacar una puntuación inferior a 11.
Sacar una puntuación igual a 5.
Sacar una puntuación igual a 12.
Sacar una puntuación inferior a 8.
Sacar una puntuación inferior a 3.
E
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10
TIPO DE SUCESO SUCESO
Seguro Sacar una puntuación inferior a 11.
Posible Sacar una puntuación igual a 5.
Imposible Sacar una puntuación igual a 12.
Muy probable Sacar una puntuación inferior a 8.
Poco probable Sacar una puntuación inferior a 3.
11
Solución:
Ejercicio nº 11.-
Aplica la Ley de Laplace y calcula las siguientes probabilidades:
a
En una bolsa hay 30 bolas, todas del mismo tamaño, de las cuales 15 son rojas, 10 son amarillas y 5 son
verdes. ¿Cuál es la probabilidad de cada color al sacar una bola?
b
En un avión viajan 35 pasajeros franceses, 15 españoles, 10 británicos y 50 italianos. ¿Cuál es la probabilidad
de que el primer pasajero que salga del avión no sea español?
Solución:
Ejercicio nº 12.-
Una urna contiene 12 bolas amarillas, 15 verdes y 23 azules. Calcula la probabilidad de que al extraer una bola al
azar:
a
Sea de color azul.
b
No sea de color amarillo.
TIPO DE SUCESO SUCESO
Suceso Seguro Obtener una cara o una cruz.
Suceso posible
Suceso imposible
Suceso muy probable
Suceso poco probable
E
C , C,C C,
TIPO DE SUCESO SUCESO
Suceso Seguro Obtener una cara o una cruz.
Suceso posible Sacar una cara.
Suceso imposible Sacar tres cruces.
Suceso muy probable Sacar al menos una cara.
Suceso poco probable Sacar dos cruces.
15 1
a) 0,5
30 2
10 1
0,33
30 3
5 1
0,17
30 6
P R
P A
P V
Casos favorables 95 19
b) 0,86
Casos posibles 110 22
P NE
12
Solución:
Ejercicio nº 13.-
Una urna contiene 12 bolas amarillas, 15 verdes y 23 azules. Calcula la probabilidad de que al extraer una bola al
azar:
a
Sea de color amarillo.
b
No sea de color verde.
Solución:
Ejercicio nº 14.-
Calcula las siguientes probabilidades:
a
En una clase del instituto hay 12 chicos morenos, 8 rubios, 4 castaños y 1 pelirrojo. El profesor saca a la
pizarra a uno de ellos de forma aleatoria. ¿Cuál es la probabilidad de que sea rubio?
b
¿Cuál es la probabilidad de que no sea moreno?
Solución:
Ejercicio nº 15.-
Aplica la ley de Laplace y calcula las siguientes probabilidades:
a
Extraer una carta de oros de una baraja española de 40 naipes.
b
Extraer una carta que no sea un As de una baraja española de 40 naipes.
Solución:
Casos favorables 23
a) 0,46
Casos posibles 50
P Az
Casos favorables 38 19
b) 0,76
Casos posibles 50 25
P NAm
Casos favorables 12 6
a) 0,24
Casos posibles 50 25
P Am
Casos favorables 35 7
b) 0,7
Casos posibles 50 10
P NV
Casos favorables 8
a) 0,32
Casos posibles 25
P R
Casos favorables 13
b) 0,52
Casos posibles 25
P NM
Casos favorables 10 1
a) 0,25
Casos posibles 40 4
P S
13
Ejercicio nº 16.-
Lanzamos dos dados y sumamos sus puntuaciones. Calcula la probabilidad de que:
a
Sumen 6.
b
La suma sea un número impar.
Solución:
Ejercicio nº 17.-
Lanzamos dos dados y anotamos sus puntuaciones. Calcula la probabilidad de que:
a
Salga un número igual y par en cada dado.
b
Salgan números menores que 5 en cada dado.
Solución:
Casos favorables 36 9
b) 0,9
Casos posibles 40 10
P S
Casos favorables 5
a) 0,14
Casos posibles 36
P S
Casos favorables 18 1
b) 0,5
Casos posibles 36 2
P S
14
Ejercicio nº 18.-
Lanzamos tres monedas y anotamos los resultados. Calcula la probabilidad de que:
a
Salgan dos caras y una cruz.
b
Salgan tres caras.
Solución:
Los resultados posibles al lanzar tres monedas son:
Por tanto:
Ejercicio nº 19.-
En un bombo se introducen 100 bolas numeradas del 0 al 99. Se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad
de que:
a
La bola extraída contenga una sola cifra.
b
El número extraído sea mayor que 90.
Solución:
Casos favorables 3 1
a) 0,08
Casos posibles 36 12
P S
Casos favorables 16 4
b) 0,44
Casos posibles 36 9
P S
C C C
C C
C C
C C
C
C
C
3
a) 0,375
8
P S
1
b) 0,125
8
P S
Casos favorables 10 1
a) 0,1
Casos posibles 100 10
P S
Casos favorables 9
b) 0,09
Casos posibles 100
P S
15
Ejercicio nº 20.-
Lanzamos dos dados y sumamos sus puntuaciones. Calcula la probabilidad de que:
a
Sumen 7.
b
Sumen 12.
Solución:
Ejercicio nº 21.-
Al lanzar 1 000 veces un dado se obtienen los resultados de la tabla:
a) ¿Cuál es la frecuencia absoluta del 4?
b) Calcula las frecuencias relativas de cada suceso.
c) Estima la probabilidad de obtener un 4 con ese dado.
Casos favorables 6 1
a) 0,17
Casos posibles 36 6
P S
Casos favorables 1
b) 0,03
Casos posibles 36
P S
16
Solución:
a) 160
b)
c) Es aproximadamente igual a su frecuencia relativa, es decir:
P [4] 0,160.
Ejercicio nº 22.-
Al lanzar 1 000 veces un dado, se obtienen los resultados de la tabla:
a) ¿Cuál es la frecuencia absoluta de 2?
b) Calcula las frecuencias relativas de cada suceso.
c) Estima la probabilidad de obtener un 3 con ese dado.
Solución:
a) 165
b)
c) Es aproximadamente igual a su frecuencia relativa, es decir:
P [3] 0,166.
17
Ejercicio nº 23.-
Al extraer al azar 1 000 veces una bola de una caja donde hay 10 bolas numeradas del 1 al 10, se obtienen los
resultados de la tabla:
a) ¿Cuál es la frecuencia absoluta de 8?
b) Calcula las frecuencias relativas de cada suceso.
c) Estima la probabilidad de extraer un 7.
Solución:
a) 102
b)
c) Es aproximadamente igual a su frecuencia relativa, es decir:
P [7] 0,101.
Ejercicio nº 24.-
Al extraer al azar 1000 veces una bola de una caja donde hay 10 bolas numeradas del 0 al 9
se obtienen los
resultados de la tabla:
18
a) ¿Cuál es la frecuencia absoluta de 6?
b) Calcula las frecuencias relativas de cada suceso.
c) Estima la probabilidad de sacar un 4.
Solución:
a) 102
b)
c) Es aproximadamente igual a su frecuencia relativa, es decir:
P [4] 0,105.
Ejercicio nº 25.-
Al extraer al azar 1 000 veces una bola de una caja, en la que hay 4 bolas verdes, 4 bolas azules y 4 bolas rojas,
se obtienen los resultados de la tabla:
a) ¿Cuál es la frecuencia absoluta de la bola roja?
b) Calcula las frecuencias relativas de cada suceso.
19
c) Estima la probabilidad de extraer una bola roja.
Solución:
a) 332
b)
c) Es aproximadamente igual a su frecuencia relativa, es decir: P [ROJA] 0,332.
TEMA 3 : LENGUAJE ALGEBRAICO, POLINOMIOS Y ECUACIONES
Término algebraico y sus partes
Se
llama término a toda expresión algebraica cuyas partes no están separadas por
los signos + o -. Así, por ejemplo xy2 es
un término algebraico.
En
todo término algebraico pueden distinguirse cuatro elementos: el signo, el
coeficiente, la parte literal y el grado.
-4x2
|
signo
|
exponente
|
coeficiente
|
base o
literal
|
Signo
Los
términos que van precedidos del signo + se llaman términos positivos, en tanto
los términos que van precedidos del signo – se llaman términos negativos. Pero,
el signo + se acostumbra omitir delante de los términos positivos; así pues,
cuando un término no va precedido de ningún signo se sobreentiende de que es
positivo.
Coeficiente
Se
llama coeficiente al número o letra que se le coloca delante de una cantidad
para multiplicarla. El coeficiente indica el número de veces que dicha cantidad
debe tomarse como sumando. En el caso de que una cantidad no vaya precedida de
un coeficiente numérico se sobreentiende que el coeficiente es la
unidad.
Parte
literal
La
parte literal está formada por las letras que haya en el
término.
Grado
El
grado de un término con respecto a una letra es el exponente de dicha letra.
Así, por ejemplo el término x3y2z, es
de tercer grado con respecto a x, de
segundo grado con respecto a
y
y de primer grado con
respecto a x.
2.5
Clasificación de los términos algebraicos; semejantes ó no
semejantes.
Los
términos que tienen las mismas variables con los mismos exponentes se llaman
términos semejantes.
Reducción de
términos semejantes
Se
llama reducción de términos semejantes a la operación que consiste en reemplazar
varios términos semejantes por uno solo. En la reducción de términos semejantes
pueden presentarse los tres casos siguientes:
a) Para
reducir términos semejantes que tengan igual signo se suman los coeficientes
anteponiendo a la suma el mismo signo que tienen todos los términos y a
continuación se escribe la parte literal.
c) Para
reducir varios términos semejantes que tengan distintos signos se reducen todos
los términos positivos a un solo término y todos lo términos negativos a un solo
término y se restan los coeficientes de los términos así obtenidos anteponiendo
a la diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte
literal.
Ejemplo
Reducir 5a -8a +a -6a + 21a
Reduciendo los positivos: 5a +a + 21a = 27a
Reduciendo los negativos: -8a -6a = -14a
Aplicando a los resultados obtenidos (27a y -14a), la regla del caso
anterior, se tiene 27a -14a =13a
Tendremos: 5a -8a +a -6a + 21a= 13a
Ejemplo
Reducir
Reduciendo los positivos:
Reduciendo los negativos:
Tendremos:
d) 2
(x - 7) = 2x -14
IES CINCO VILLAS TEMA 3 EL LENGUAJE ALGEBRAICO 3º ESO Página 1
EJERCICIOS RESUELTOS MÍNIMOS TEMA 3 EL LENGUAJE ALGEBRAICO 3º ESO
Ejercicio nº 1.-
Completa esta tabla:
Solución:
* Nota: En este caso hay muchas posibilidades; este es solo un ejemplo
Ejercicio nº 2.-
Reduce las siguientes expresiones:
Solución:
POLINOMIO GRADO N.° DE TÉRMINOS VARIABLE/S
3
x4
+ 2x - 1
5 2
x, y
3
5
2
x
+
x
2
3
2 7
4
-
x + x -
POLINOMIO GRADO N.° DE TÉRMINOS VARIABLE/S
3
x4
+ 2x - 1 4 3 x
2
x3y 2
+ 3 * 5 2 x, y
3
5
2
x
+
x 3 2 x
2
3
2 7
4
-
x + x - 2 3 x
3 1
( ) 1 ( )
a) 1 2 3
2 3 6
x
x x
+ + - - -
b)
(3x2 - 5x + 1)× (2x + 2)
IES CINCO VILLAS TEMA 3 EL LENGUAJE ALGEBRAICO 3º ESO Página 2
Ejercicio nº 3.-
Desarrolla y reduce cada una de estas expresiones:
a) (
x
+ 6) (x - 6) - (x - 6)2
b) (3
x
+ 1)2 - 3x(x + 2)
Solución:
a) (
x + 6) (x - 6) - (x - 6)2 = x2 - 36 - (x2 - 12x + 36) = x2 - 36 - x2 + 12x - 36 = 12x - 72
b) (3
x + 1)2 - 3x(x + 2) = 9x2 + 6x + 1 - 3x2 - 6x = 6x2 + 1
Ejercicio nº 4.-
Opera y simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
Solución:
Ejercicio nº 5.-
Expresa en lenguaje algebraico cada uno de los siguientes enunciados:
a
) El 30% de un número.
( ) ( )
3 1 1 3 1 2 3
a) 1 2 3
2 3 6 2 3 6
9 3 2 2 2 3 9 3 2 2 2 3
6 6 6 6
3 10 3 10 5
6 6 6 2 3
x x x x
x x
x x x x x x
x x x
+ + - - - = + + - - - =
= + + - - - = + + - - + =
= + = + = +
(
2 )( ) 3 2 2
3 2
b) 3 5 1 2 2 6 6 10 10 2 2
6 4 8 2
x x x x x x x x
x x x
- + + = + - - + + =
= - - +
2
2 1 1
a)
2
x
x x x
+ + -
2
2 3
b)
3 2
x y
y x
×
2 2 2 2 2
2 1 1 4 2 2 5 2
a)
2 2 2 2 2
x x x x x
x x x x x x x
+ + - = + + - = +
2 2
2 3 6 1
b)
3 2 6
x y xy
y x x y x
× = =
IES CINCO VILLAS TEMA 3 EL LENGUAJE ALGEBRAICO 3º ESO Página 3
b
) El área de un rectángulo de base 3 cm y altura desconocida.
c
) El perímetro de un rectángulo de base 3 cm y altura desconocida.
d
) El doble del resultado de sumarle a un número entero su siguiente.
Solución:
a
) 0,3x
b
) 3x
c
) 6 + 2x
d
) 2[x + (x + 1)] = 2(2x + 1) = 4x + 2
Ejercicio nº 1.-
Completa la siguiente tabla:
Solución:
Ejercicio nº 2.-
a) Extrae factor común en cada caso:
P
= 9x4 - 6x3 + 3x2
MONOMIO COEFICIENTE VARIABLE/S GRADO
4
x5
2
xy
-
x
2
2
3
x yz
MONOMIO COEFICIENTE VARIABLE/S GRADO
4
x5
4 x 5
2
xy
1
2
x
, y 2
-
x -1 x 1
2
2
3
x yz
2
3
x
, y, z 4
IES CINCO VILLAS TEMA 3 EL LENGUAJE ALGEBRAICO 3º ESO Página 4
Q
= 3x2y2 - 3x2y + 3xy2
b) Efectúa y reduce:
Solución:
a) P
= 9x4 - 6x3 + 3x2 = 3x2 (3x2 - 2x + 1)
Q
= 3x2y2 - 3x2y + 3xy2 = 3xy (xy - x + y)
Ejercicio nº 3.-
Reduce las siguientes expresiones:
a) (2
x
- 5)2
b)
x(3x
- 2) - (3x + 2) (3x - 2)
Solución:
a) (2
x - 5)2 = 4x2 - 20x + 25
b)
x(3x - 2) - (3x + 2) (3x - 2) = 3x2 - 2x - (9x2 - 4) = 3x2 - 2x - 9x2 + 4 = -6x2 - 2x + 4
Ejercicio nº 4.-
Efectúa las siguientes operaciones y simplifica el resultado obtenido:
Solución:
1
( 2 ) 1 ( ) ( ) 2
1 2 3 2
2 3
x
- + x - x + - x
(
- ) + ( - )( + ) - = - + ( + - ) - =
= - + + - - = - + + - - =
= - + - = - + -
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
2 2
1 1 1 1
b) 1 2 3 2 6 2
2 3 2 2 3
1 3 3 2 2 12 12
2 2
2 2 3 3 6 6 6 6 6 6
7 2 15 7 5
6 6 6 6 3 2
x
x x x x x x x
x x x x x x x
x
x x x x
1 2
a)
1
x
x x
- -
+
2
2
b)
3 5
x y
y x
×
( ) ( ) ( )
- - = - - + = - - - = - -
+ + + + +
2 2 2
2
1 2 2 2 2 2 3 2
a)
1 1 1 1
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
IES CINCO VILLAS TEMA 3 EL LENGUAJE ALGEBRAICO 3º ESO Página 5
Ejercicio nº 5.-
Traduce al lenguaje algebraico las siguientes expresiones:
a
) El triple del resultado de sumar un número con su inverso.
b
) El doble de la edad que tendré dentro de cinco años.
c
) El quíntuplo del área de un cuadrado de lado x.
d
) El área de un triángulo del que se sabe que su base es la mitad de su altura.
Solución:
Ejercicio nº 1.-
Indica cuáles de las siguientes igualdades son identidades y cuáles son ecuaciones.
Razona tu respuesta:
a) 2
x
+ 8x = 10x
b) 2
x
+ 8x = 10
c) 3(
x
- 1) = 12
d) 3(
x
- 1) = 3x - 3
Solución:
a) Es una identidad, pues es cierta para cualquier valor de
x.
b) Es una ecuación; solo es cierta para
x = 1.
c) Es una ecuación; solo es cierta para
x = 5.
d) Es una identidad; es cierta para cualquier valor de
x.
Ejercicio nº 2.-
Opera y simplifica:
2 2
2 2
1
b)
3 5 15 15
x y x y
y x x y
× = =
1 3
a) 3
x 3x
x x
+ = +
b) 2
(x + 5) = 2x +10
c) 5
x2
2
d) 2
2 4
x
x
× x
=
IES CINCO VILLAS TEMA 3 EL LENGUAJE ALGEBRAICO 3º ESO Página 6
Solución:
Ejercicio nº 3.-
a) Desarrolla:
P
= (x2 - 3) (x2 + 3)
Q
= (x2 - 3)2
b) Reduce:
(
x
+ 3)2 - (x + 3) (x - 3)
Solución:
a) P
= (x2 - 3) (x2 + 3) = x4 - 9
Q
= (x2 - 3)2 = x4 - 6x2 + 9
b) (
x + 3)2 - (x + 3) (x - 3) = x2 + 6x + 9 - (x2 - 9) = x2 + 6x + 9 - x2 + 9 = 6x + 18
Ejercicio nº 4.-
Opera y simplifica:
Solución:
( )
( )
( ) ( )
a)
2 2 1 1
2 1 1 1
b) 2 2
3 2 3
x x x
x x
x
- + +
+ - + + -
a)
(x2 - 2x + 1)(x + 1) = x3 - 2x2 + x + x2 - 2x + 1 = x3 - x2 - x + 1
( ) ( )
+ - + - - + + - = + + =
= + + - + - = + + - + - = - =
= - = -
2 1 1 1 2 2 1 2 2
b) 2 2
3 2 3 3 2 3
4 4 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 11 3
6 6 6 6 6
11 3 11 1
6 6 6 2
x x x x x
x
x x x x x x x
x x
2
1 5 2
a)
x x
3x
- + -
( )
2
( )
3 6 2
b)
6 6
a a
a a
-
×
-
IES CINCO VILLAS TEMA 3 EL LENGUAJE ALGEBRAICO 3º ESO Página 7
Ejercicio nº 5.-
Traduce al lenguaje algebraico:
a
) La suma de un número con el doble de otro.
b
) El precio de una camisa rebajado en un 20%.
c
) El área de un círculo de radio x.
d
) La suma de tres números enteros consecutivos.
Solución:
a
) x + 2y
b
) 0,8x
c
) px 2
d
) x + (x + 1) + (x + 2) = 3x + 3
Ejercicio nº 1.-
En cada uno de estos ejemplos, di si son polinomios. En caso afirmativo, indica cuál es
su grado:
Solución:
a) Es un polinomio de grado 3.
b) Es un polinomio de grado 1.
c) No es un polinomio.
d) Es un polinomio de grado 2.
Ejercicio nº 2.-
Efectúa y simplifica el resultado:
2 2 2 2 2
1 5 2 3 15 2 13 3
a)
3 3 3 3 3
x x x
x x x x x x x
- + - = - + - = -
( )
( )
( )
2 2
( )
3 6 2 6 6 1
b)
6 6 6 6
a a a a
a a a a a
- -
× = =
- -
2
3
a) 2
4
x y
+ xy
3
b)
2 4
x
- +
2
3
c) 3
x
x
+
d) 3
2
3
x
x
+
IES CINCO VILLAS TEMA 3 EL LENGUAJE ALGEBRAICO 3º ESO Página 8
Solución:
Ejercicio nº 3.-
Aplica las identidades notables y reduce las siguientes expresiones:
a) (5
x
- 1)2 - (5x + 1) (5x - 1)
b) (
x
+ 7)2 - x(x + 14)
Solución:
a) (5
x - 1)2 - (5x + 1) (5x - 1) = 25x2 - 10x + 1 - (25x2 - 1) = 25x2 - 10x + 1 - 25x2 + 1 =
= -
10x + 2
b) (
x + 7)2 - x(x + 14) = x2 + 14x + 49 - x2 - 14x = 49
Ejercicio nº 4.-
Opera y simplifica el resultado en cada caso:
Solución:
a)
(3x2 - 2x + 1)× (-2x + 3)
( )
3 1 1
b) 2
4 2 2 3 2
x x
x
- + - +
(
2 ) ( ) 3 2 2
3 2
a) 3 2 1 2 3 6 9 4 6 2 3
6 13 8 3
x x x x x x x x
x x x
- + × - + = - + + - - + =
= - + - +
( )
3 1 1 3 3 1
b) 2
4 2 2 3 2 4 2 4 6 4
9 18 3 2 3 10 15 5 5
12 12 12 12 12 12 12 6 4
x x x x x
x
x x x x x
- + - + = - + - + =
= - + - + = - = -
2 3 2
a)
1 1
x
x x x
+ -
- -
2 2
b)
2 2
x x
x x
- :
+ +
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2
2
2 3 2 2 3 2 2
a)
1 1 1 1 1
2 3 2 2 3 2
1
x x x x
x x x x x x x x x
x x x x
x x x x
+ - = + - - =
- - - - -
= + - + = +
- -
IES CINCO VILLAS TEMA 3 EL LENGUAJE ALGEBRAICO 3º ESO Página 9
Ejercicio nº 5.-
Expresa en lenguaje algebraico:
a
) La mitad del resultado de sumarle 3 a un número.
b
) La tercera parte del área de un rectángulo en el que la base mide el doble que la
altura.
c
) El cuadrado de la suma de dos números enteros consecutivos.
d
) La media de un número y su cuádruplo.
Solución:
Ejercicio nº 1.-
En cada una de estas expresiones, razona si se trata de un polinomio, de una identidad o
de una ecuación:
a) 2(
x
+ 1) = 2x + 2
b) 2(
x
+ 1) = 8
c) 2
x
+ 2
d)
x4
- 3x 2 + 5x - 1 = 0
Solución:
a) Es una identidad, pues es una igualdad que es cierta para cualquier valor de
x.
b) Es una ecuación (es una igualdad que solo es cierta para
x = 3).
c) Es un polinomio (no es una igualdad).
d) Es una ecuación, pues es una igualdad algebraica que no es cierta para cualquier valor de
x
.
Ejercicio nº 2.-
Dados los polinomios A
= -3x2 + 2x - 1 y B = x2 + 3x + 1 calcula:
a
) 2A - B b) A · B
( ) ( )
( )
2 2 2 2 2
b) :
2 2 2 2 2
x x x x x
x x x x x
- - + - = =
+ + +
3
a)
2
x
+
2 2
2
b)
3 3
x
× x = x
( ) ( )
2 2 c) x + x +1 = 2x +1
4 5
d)
2 2
x
+ x = x
IES CINCO VILLAS TEMA 3 EL LENGUAJE ALGEBRAICO 3º ESO Página 10
Solución:
a
) 2A - B = 2(-3x2 + 2x - 1) - (x2 + 3x + 1) =
= -
6x2 + 4x - 2 - x2 - 3x - 1 = -7x2 + x - 3
A · B
= -3x4 - 7x3 + 2x2 - x - 1
Ejercicio nº 3.-
Desarrolla y reduce las siguientes expresiones:
a) (
x
+ 5)2 - (x - 5)2
b) (2
x
+ 3) (2x - 3) - 2(2x2 - 1)
Solución:
a) (
x + 5)2 - (x - 5)2 = x2 + 10x + 25 - (x2 - 10x + 25) = x2 + 10x + 25 - x2 + 10x - 25 = 20x
b) (2
x + 3) (2x - 3) - 2(2x2 - 1) = 4x2 - 9 - 4x2 + 2 = -7
Ejercicio nº 4.-
Efectúa y simplifica:
Solución:
2
2
2
3 2
4 3 2
4 3 2
b) 3 2 1
3 1
3 2 1
9 6 3
3 2
3 7 2 1
x x
x x
x x
x x x
x x x
x x x x
- + -
+ +
- + -
- + -
- + -
- - + - -
( )
1 2
a)
1 3 1
x x
x x
- +
+ +
( ) ( )
2
1 1
b)
2
x x
x x
+ +
:
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 3 2 5 3 5 3
a)
1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 3
x x x x x x
x x x x x x
- + = - + = - = -
+ + + + + +
( ) ( ) ( )
( )
2
2
1 1 1
b) :
2 2 1 2
x x x x x
x x x x
+ + +
= =
+
IES CINCO VILLAS TEMA 3 EL LENGUAJE ALGEBRAICO 3º ESO Página 11
Ejercicio nº 5.-
Traduce al lenguaje algebraico cada uno de estos enunciados:
a
) La cuarta parte de un número entero más el cuadrado de su siguiente.
b
) El perímetro de un triángulo isósceles del que sabemos que su lado desigual mide
4 cm menos que cada uno de los dos lados iguales.
c
) La diagonal de un cuadrado de lado x.
d
) El doble de la edad que tenía hace 7 años.
Solución:
( )
2 a) 1
4
x
+
x +
b) 2
x + (x - 4) = 3x - 4
c)
x2 + x2 = 2x2 = 2x
d) 2
(x - 7) = 2x -14
IES CINCO VILLAS TEMA 3 EL LENGUAJE ALGEBRAICO 3º ESO Página 1
EJERCICIOS RESUELTOS MÍNIMOS TEMA 3 EL LENGUAJE ALGEBRAICO 3º ESO
Ejercicio nº 1.-
Completa esta tabla:
Solución:
* Nota: En este caso hay muchas posibilidades; este es solo un ejemplo
Ejercicio nº 2.-
Reduce las siguientes expresiones:
Solución:
POLINOMIO GRADO N.° DE TÉRMINOS VARIABLE/S
3
x4
+ 2x - 1
5 2
x, y
3
5
2
x
+
x
2
3
2 7
4
-
x + x -
POLINOMIO GRADO N.° DE TÉRMINOS VARIABLE/S
3
x4
+ 2x - 1 4 3 x
2
x3y 2
+ 3 * 5 2 x, y
3
5
2
x
+
x 3 2 x
2
3
2 7
4
-
x + x - 2 3 x
3 1
( ) 1 ( )
a) 1 2 3
2 3 6
x
x x
+ + - - -
b)
(3x2 - 5x + 1)× (2x + 2)
IES CINCO VILLAS TEMA 3 EL LENGUAJE ALGEBRAICO 3º ESO Página 2
Ejercicio nº 3.-
Desarrolla y reduce cada una de estas expresiones:
a) (
x
+ 6) (x - 6) - (x - 6)2
b) (3
x
+ 1)2 - 3x(x + 2)
Solución:
a) (
x + 6) (x - 6) - (x - 6)2 = x2 - 36 - (x2 - 12x + 36) = x2 - 36 - x2 + 12x - 36 = 12x - 72
b) (3
x + 1)2 - 3x(x + 2) = 9x2 + 6x + 1 - 3x2 - 6x = 6x2 + 1
Ejercicio nº 4.-
Opera y simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
Solución:
Ejercicio nº 5.-
Expresa en lenguaje algebraico cada uno de los siguientes enunciados:
a
) El 30% de un número.
( ) ( )
3 1 1 3 1 2 3
a) 1 2 3
2 3 6 2 3 6
9 3 2 2 2 3 9 3 2 2 2 3
6 6 6 6
3 10 3 10 5
6 6 6 2 3
x x x x
x x
x x x x x x
x x x
+ + - - - = + + - - - =
= + + - - - = + + - - + =
= + = + = +
(
2 )( ) 3 2 2
3 2
b) 3 5 1 2 2 6 6 10 10 2 2
6 4 8 2
x x x x x x x x
x x x
- + + = + - - + + =
= - - +
2
2 1 1
a)
2
x
x x x
+ + -
2
2 3
b)
3 2
x y
y x
×
2 2 2 2 2
2 1 1 4 2 2 5 2
a)
2 2 2 2 2
x x x x x
x x x x x x x
+ + - = + + - = +
2 2
2 3 6 1
b)
3 2 6
x y xy
y x x y x
× = =
IES CINCO VILLAS TEMA 3 EL LENGUAJE ALGEBRAICO 3º ESO Página 3
b
) El área de un rectángulo de base 3 cm y altura desconocida.
c
) El perímetro de un rectángulo de base 3 cm y altura desconocida.
d
) El doble del resultado de sumarle a un número entero su siguiente.
Solución:
a
) 0,3x
b
) 3x
c
) 6 + 2x
d
) 2[x + (x + 1)] = 2(2x + 1) = 4x + 2
Ejercicio nº 1.-
Completa la siguiente tabla:
Solución:
Ejercicio nº 2.-
a) Extrae factor común en cada caso:
P
= 9x4 - 6x3 + 3x2
MONOMIO COEFICIENTE VARIABLE/S GRADO
4
x5
2
xy
-
x
2
2
3
x yz
MONOMIO COEFICIENTE VARIABLE/S GRADO
4
x5
4 x 5
2
xy
1
2
x
, y 2
-
x -1 x 1
2
2
3
x yz
2
3
x
, y, z 4
IES CINCO VILLAS TEMA 3 EL LENGUAJE ALGEBRAICO 3º ESO Página 4
Q
= 3x2y2 - 3x2y + 3xy2
b) Efectúa y reduce:
Solución:
a) P
= 9x4 - 6x3 + 3x2 = 3x2 (3x2 - 2x + 1)
Q
= 3x2y2 - 3x2y + 3xy2 = 3xy (xy - x + y)
Ejercicio nº 3.-
Reduce las siguientes expresiones:
a) (2
x
- 5)2
b)
x(3x
- 2) - (3x + 2) (3x - 2)
Solución:
a) (2
x - 5)2 = 4x2 - 20x + 25
b)
x(3x - 2) - (3x + 2) (3x - 2) = 3x2 - 2x - (9x2 - 4) = 3x2 - 2x - 9x2 + 4 = -6x2 - 2x + 4
Ejercicio nº 4.-
Efectúa las siguientes operaciones y simplifica el resultado obtenido:
Solución:
1
( 2 ) 1 ( ) ( ) 2
1 2 3 2
2 3
x
- + x - x + - x
(
- ) + ( - )( + ) - = - + ( + - ) - =
= - + + - - = - + + - - =
= - + - = - + -
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
2 2
1 1 1 1
b) 1 2 3 2 6 2
2 3 2 2 3
1 3 3 2 2 12 12
2 2
2 2 3 3 6 6 6 6 6 6
7 2 15 7 5
6 6 6 6 3 2
x
x x x x x x x
x x x x x x x
x
x x x x
1 2
a)
1
x
x x
- -
+
2
2
b)
3 5
x y
y x
×
( ) ( ) ( )
- - = - - + = - - - = - -
+ + + + +
2 2 2
2
1 2 2 2 2 2 3 2
a)
1 1 1 1
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
IES CINCO VILLAS TEMA 3 EL LENGUAJE ALGEBRAICO 3º ESO Página 5
Ejercicio nº 5.-
Traduce al lenguaje algebraico las siguientes expresiones:
a
) El triple del resultado de sumar un número con su inverso.
b
) El doble de la edad que tendré dentro de cinco años.
c
) El quíntuplo del área de un cuadrado de lado x.
d
) El área de un triángulo del que se sabe que su base es la mitad de su altura.
Solución:
Ejercicio nº 1.-
Indica cuáles de las siguientes igualdades son identidades y cuáles son ecuaciones.
Razona tu respuesta:
a) 2
x
+ 8x = 10x
b) 2
x
+ 8x = 10
c) 3(
x
- 1) = 12
d) 3(
x
- 1) = 3x - 3
Solución:
a) Es una identidad, pues es cierta para cualquier valor de
x.
b) Es una ecuación; solo es cierta para
x = 1.
c) Es una ecuación; solo es cierta para
x = 5.
d) Es una identidad; es cierta para cualquier valor de
x.
Ejercicio nº 2.-
Opera y simplifica:
2 2
2 2
1
b)
3 5 15 15
x y x y
y x x y
× = =
1 3
a) 3
x 3x
x x
+ = +
b) 2
(x + 5) = 2x +10
c) 5
x2
2
d) 2
2 4
x
x
× x
=
IES CINCO VILLAS TEMA 3 EL LENGUAJE ALGEBRAICO 3º ESO Página 6
Solución:
Ejercicio nº 3.-
a) Desarrolla:
P
= (x2 - 3) (x2 + 3)
Q
= (x2 - 3)2
b) Reduce:
(
x
+ 3)2 - (x + 3) (x - 3)
Solución:
a) P
= (x2 - 3) (x2 + 3) = x4 - 9
Q
= (x2 - 3)2 = x4 - 6x2 + 9
b) (
x + 3)2 - (x + 3) (x - 3) = x2 + 6x + 9 - (x2 - 9) = x2 + 6x + 9 - x2 + 9 = 6x + 18
Ejercicio nº 4.-
Opera y simplifica:
Solución:
( )
( )
( ) ( )
a)
2 2 1 1
2 1 1 1
b) 2 2
3 2 3
x x x
x x
x
- + +
+ - + + -
a)
(x2 - 2x + 1)(x + 1) = x3 - 2x2 + x + x2 - 2x + 1 = x3 - x2 - x + 1
( ) ( )
+ - + - - + + - = + + =
= + + - + - = + + - + - = - =
= - = -
2 1 1 1 2 2 1 2 2
b) 2 2
3 2 3 3 2 3
4 4 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 11 3
6 6 6 6 6
11 3 11 1
6 6 6 2
x x x x x
x
x x x x x x x
x x
2
1 5 2
a)
x x
3x
- + -
( )
2
( )
3 6 2
b)
6 6
a a
a a
-
×
-
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Ejercicio nº 5.-
Traduce al lenguaje algebraico:
a
) La suma de un número con el doble de otro.
b
) El precio de una camisa rebajado en un 20%.
c
) El área de un círculo de radio x.
d
) La suma de tres números enteros consecutivos.
Solución:
a
) x + 2y
b
) 0,8x
c
) px 2
d
) x + (x + 1) + (x + 2) = 3x + 3
Ejercicio nº 1.-
En cada uno de estos ejemplos, di si son polinomios. En caso afirmativo, indica cuál es
su grado:
Solución:
a) Es un polinomio de grado 3.
b) Es un polinomio de grado 1.
c) No es un polinomio.
d) Es un polinomio de grado 2.
Ejercicio nº 2.-
Efectúa y simplifica el resultado:
2 2 2 2 2
1 5 2 3 15 2 13 3
a)
3 3 3 3 3
x x x
x x x x x x x
- + - = - + - = -
( )
( )
( )
2 2
( )
3 6 2 6 6 1
b)
6 6 6 6
a a a a
a a a a a
- -
× = =
- -
2
3
a) 2
4
x y
+ xy
3
b)
2 4
x
- +
2
3
c) 3
x
x
+
d) 3
2
3
x
x
+
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Solución:
Ejercicio nº 3.-
Aplica las identidades notables y reduce las siguientes expresiones:
a) (5
x
- 1)2 - (5x + 1) (5x - 1)
b) (
x
+ 7)2 - x(x + 14)
Solución:
a) (5
x - 1)2 - (5x + 1) (5x - 1) = 25x2 - 10x + 1 - (25x2 - 1) = 25x2 - 10x + 1 - 25x2 + 1 =
= -
10x + 2
b) (
x + 7)2 - x(x + 14) = x2 + 14x + 49 - x2 - 14x = 49
Ejercicio nº 4.-
Opera y simplifica el resultado en cada caso:
Solución:
a)
(3x2 - 2x + 1)× (-2x + 3)
( )
3 1 1
b) 2
4 2 2 3 2
x x
x
- + - +
(
2 ) ( ) 3 2 2
3 2
a) 3 2 1 2 3 6 9 4 6 2 3
6 13 8 3
x x x x x x x x
x x x
- + × - + = - + + - - + =
= - + - +
( )
3 1 1 3 3 1
b) 2
4 2 2 3 2 4 2 4 6 4
9 18 3 2 3 10 15 5 5
12 12 12 12 12 12 12 6 4
x x x x x
x
x x x x x
- + - + = - + - + =
= - + - + = - = -
2 3 2
a)
1 1
x
x x x
+ -
- -
2 2
b)
2 2
x x
x x
- :
+ +
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2
2
2 3 2 2 3 2 2
a)
1 1 1 1 1
2 3 2 2 3 2
1
x x x x
x x x x x x x x x
x x x x
x x x x
+ - = + - - =
- - - - -
= + - + = +
- -
IES CINCO VILLAS TEMA 3 EL LENGUAJE ALGEBRAICO 3º ESO Página 9
Ejercicio nº 5.-
Expresa en lenguaje algebraico:
a
) La mitad del resultado de sumarle 3 a un número.
b
) La tercera parte del área de un rectángulo en el que la base mide el doble que la
altura.
c
) El cuadrado de la suma de dos números enteros consecutivos.
d
) La media de un número y su cuádruplo.
Solución:
Ejercicio nº 1.-
En cada una de estas expresiones, razona si se trata de un polinomio, de una identidad o
de una ecuación:
a) 2(
x
+ 1) = 2x + 2
b) 2(
x
+ 1) = 8
c) 2
x
+ 2
d)
x4
- 3x 2 + 5x - 1 = 0
Solución:
a) Es una identidad, pues es una igualdad que es cierta para cualquier valor de
x.
b) Es una ecuación (es una igualdad que solo es cierta para
x = 3).
c) Es un polinomio (no es una igualdad).
d) Es una ecuación, pues es una igualdad algebraica que no es cierta para cualquier valor de
x
.
Ejercicio nº 2.-
Dados los polinomios A
= -3x2 + 2x - 1 y B = x2 + 3x + 1 calcula:
a
) 2A - B b) A · B
( ) ( )
( )
2 2 2 2 2
b) :
2 2 2 2 2
x x x x x
x x x x x
- - + - = =
+ + +
3
a)
2
x
+
2 2
2
b)
3 3
x
× x = x
( ) ( )
2 2 c) x + x +1 = 2x +1
4 5
d)
2 2
x
+ x = x
Solución:
a
) 2A - B = 2(-3x2 + 2x - 1) - (x2 + 3x + 1) =
= -
6x2 + 4x - 2 - x2 - 3x - 1 = -7x2 + x - 3
A · B
= -3x4 - 7x3 + 2x2 - x - 1
Ejercicio nº 3.-
Desarrolla y reduce las siguientes expresiones:
a) (
x
+ 5)2 - (x - 5)2
b) (2
x
+ 3) (2x - 3) - 2(2x2 - 1)
Solución:
a) (
x + 5)2 - (x - 5)2 = x2 + 10x + 25 - (x2 - 10x + 25) = x2 + 10x + 25 - x2 + 10x - 25 = 20x
b) (2
x + 3) (2x - 3) - 2(2x2 - 1) = 4x2 - 9 - 4x2 + 2 = -7
Ejercicio nº 4.-
Efectúa y simplifica:
Solución:
2
2
2
3 2
4 3 2
4 3 2
b) 3 2 1
3 1
3 2 1
9 6 3
3 2
3 7 2 1
x x
x x
x x
x x x
x x x
x x x x
- + -
+ +
- + -
- + -
- + -
- - + - -
( )
1 2
a)
1 3 1
x x
x x
- +
+ +
( ) ( )
2
1 1
b)
2
x x
x x
+ +
:
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 3 2 5 3 5 3
a)
1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 3
x x x x x x
x x x x x x
- + = - + = - = -
+ + + + + +
( ) ( ) ( )
( )
2
2
1 1 1
b) :
2 2 1 2
x x x x x
x x x x
+ + +
= =
+
Ejercicio nº 5.-
Traduce al lenguaje algebraico cada uno de estos enunciados:
a
) La cuarta parte de un número entero más el cuadrado de su siguiente.
b
) El perímetro de un triángulo isósceles del que sabemos que su lado desigual mide
4 cm menos que cada uno de los dos lados iguales.
c
) La diagonal de un cuadrado de lado x.
d
) El doble de la edad que tenía hace 7 años.
Solución:
EJERCICIOS CON IDENTIDADES NOTABLES
( )
2 a) 1
4
x
+
x +
b) 2
x + (x - 4) = 3x - 4
c)
x2 + x2 = 2x2 = 2x
d) 2
(x - 7) = 2x -14
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